Łączenie operacji

Wykonujesz jeden ruch symetrii, a potem kolejny — i otrzymujesz trzeci ruch. To kluczowa idea, która zamienia listę ruchów w elegancką teorię. Najważniejszym przykładem są dwa odbicia wykonane jedno po drugim.

• Dwie przecinające się proste lustrzane. Odbij figurę względem prostej m₁, a następnie odbij wynik względem prostej m₂. Jeśli proste przecinają się w punkcie O, a kąt między nimi ma miarę α, wynikiem jest obrót wokół `O` o kąt `2α`. Na przykład lustra ustawione pod kątem 30° względem siebie dają obrót o 60°. Lustra ustawione pod kątem prostym (90°) dają obrót o 180°, czyli półobrót.
• Dwie równoległe proste lustrzane. Jeśli proste są oddalone od siebie o d, wynikiem jest przesunięcie o `2d` prostopadłe do tych prostych. Lustra oddalone o 3 cm przesuwają figurę o 6 cm.

Dlaczego kąt lub odległość podwaja się? Po pierwszym odbiciu figura znajduje się za pierwszym lustrem w takiej samej odległości, w jakiej wcześniej była przed nim. Po odbiciu w drugim lustrze przeskakuje ponownie zgodnie z tą samą zasadą. Oba przesunięcia sumują się, dając podwójną odległość między lustrami.

Jeśli chcesz obliczyć to za pomocą liczb, odbicie względem prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych i tworzącej kąt ψ opisuje macierz [[cos 2ψ, sin 2ψ], [sin 2ψ, −cos 2ψ]]. Pomnóż dwie takie macierze, a otrzymasz macierz obrotu o kąt 2(ψ₂ − ψ₁). Laboratorium Wektorów wyjaśnia, jak macierze działają na figurach.

Kolejność ruchów może mieć znaczenie. Weź trójkąt równoboczny z ponumerowanym położeniem w każdym wierzchołku: 1 u góry, 2 na dole po lewej, 3 na dole po prawej. Niech r oznacza obrót o 120°, który przenosi pole w położeniu 1 do 2, pole w położeniu 2 do 3, a pole w położeniu 3 do 1. Niech s oznacza odbicie względem pionowej osi przechodzącej przez położenie 1: zamienia ono położenia 2 i 3, a położenie 1 pozostawia bez zmian.

• `r`, a potem `s`: pole w położeniu 1 przechodzi do 2, a następnie do 3.
• `s`, a potem `r`: pole w położeniu 1 pozostaje w położeniu 1, a następnie przechodzi do 2.

Wyniki są różne, więc r, a potem s nie oznacza tego samego ruchu co s, a potem r. Wykonanie ruchów w innej kolejności może zmienić wynik. (Istnieją szczególne przypadki, w których kolejność nie ma znaczenia: dwa półobroty wokół różnych punktów albo dwa odbicia względem prostopadłych prostych przechodzących przez ten sam punkt dają ten sam wynik niezależnie od kolejności. Ogólnie kolejność ma znaczenie.)

Idea grupy. Symetrie figury tworzą uporządkowany system zwany grupą: (1) wykonanie jednej symetrii, a potem kolejnej, znów jest symetrią (zbiór jest zamknięty), (2) nicnierobienie jest symetrią (tożsamość), a (3) każdą symetrię można cofnąć za pomocą innej symetrii (jej odwrotności). Trójkąt równoboczny ma dokładnie 6 symetrii: 3 obroty (0°, 120°, 240°) i 3 odbicia. Kwadrat ma ich 8. Wielokąt foremny n-kątny ma 2n symetrii. Teoria grup, zrodzona z pytań takich jak te, to matematyka symetrii.