Å kombinere forskyvninger

Gjør én symmetribevegelse og deretter en annen, så får du en tredje bevegelse. Dette er hovedideen som gjør en liste med bevegelser om til en elegant teori. Det viktigste eksempelet er to speilinger etter hverandre.

• To speillinjer som krysser hverandre. Speil en figur i linje m₁, og speil deretter resultatet i linje m₂. Hvis linjene møtes i et punkt O og vinkelen mellom dem er α, blir resultatet en rotasjon rundt `O` på `2α`. For eksempel gir speil som står 30° på hverandre, en rotasjon på 60°. Speil som står vinkelrett på hverandre (90°), gir en rotasjon på 180°, altså en halvomdreining.
• To speillinjer som er parallellkobling. Hvis linjene har en avstand d mellom seg, blir resultatet en forskyvning på `2d` vinkelrett på linjene. Speil som står 3 cm fra hverandre, flytter en figur 6 cm.

Hvorfor blir det dobbelt så stor vinkel eller avstand? Når du speiler én gang, er figuren like langt bak det første speilet som den var foran det. Når du speiler i det andre speilet, flyttes figuren igjen etter samme regel. De to hoppene blir til sammen dobbelt så store som avstanden mellom speilene.

Hvis du vil regne dette ut med tall, er en speiling i en linje gjennom origo med vinkel ψ gitt av matrisen [[cos 2ψ, sin 2ψ], [sin 2ψ, −cos 2ψ]]. Multipliser to slike matriser, så får du en rotasjonsmatrise for vinkelen 2(ψ₂ − ψ₁). Vektorlabben forklarer hvordan matriser virker på figurer.

Rekkefølgen på bevegelsene kan ha betydning. Ta en likesidet trekant med en nummerert posisjon i hvert hjørne: 1 øverst, 2 nederst til venstre og 3 nederst til høyre. La r være rotasjonen på 120° som flytter brikken på 1 til 2, brikken på 2 til 3 og brikken på 3 til 1. La s være speilingen i den vertikale aksen gjennom posisjon 1: den bytter om posisjon 2 og 3 og lar 1 være som den er.

• `r` og deretter `s`: Brikken på posisjon 1 flyttes til 2, og deretter til 3.
• `s` og deretter `r`: Brikken på posisjon 1 blir på 1, og flyttes deretter til 2.

Resultatene er forskjellige, så r og deretter s er ikke den samme bevegelsen som s og deretter r. Hvis du gjør bevegelsene i en annen rekkefølge, kan resultatet bli annerledes. (I noen spesielle tilfeller har rekkefølgen ikke noe å si: to halvomdreininger rundt forskjellige punkter, eller to speilinger i vinkelrette linjer gjennom det samme punktet, gir samme resultat uansett rekkefølge. Generelt har rekkefølgen betydning.)

Ideen om en gruppe. Symmetriene til en figur danner et ryddig system som kalles en gruppe: (1) når du gjør én symmetri og deretter en annen, får du igjen en symmetri (mengden er lukket), (2) å ikke gjøre noe er en symmetri ( identiteten), og (3) alle symmetrier kan oppheves av en annen symmetri (dens inverse). En likesidet trekant har nøyaktig 6 symmetrier: 3 rotasjoner (0°, 120°, 240°) og 3 speilinger. Et kvadrat har 8. En regulær n-kant har 2n. Gruppeteori, som oppsto fra spørsmål som disse, er symmetriens matematikk.