Combinaison de mouvements

On effectue un mouvement de symétrie, puis un autre, et on obtient un troisième mouvement. C’est l’idée clé qui transforme une liste de mouvements en une théorie élégante. L’exemple le plus important est celui de deux réflexions successives.

• Deux droites miroir qui se coupent. Réfléchis une forme par rapport à la droite m₁, puis réfléchis le résultat par rapport à la droite m₂. Si les droites se rencontrent en un point O et que l’angle entre elles est α, le résultat est une rotation autour de `O` de `2α`. Par exemple, des miroirs formant un angle de 30° donnent une rotation de 60°. Des miroirs perpendiculaires (90°) donnent une rotation de 180°, le demi-tour.
• Deux droites miroir parallèles. Si les droites sont séparées par une distance d, le résultat est une translation de `2d` perpendiculaire aux droites. Des miroirs séparés de 3 cm déplacent une forme de 6 cm.

Pourquoi deux fois l’angle ou deux fois la distance ? Après la première réflexion, la forme se trouve aussi loin derrière le premier miroir qu’elle l’était devant. Après la réflexion dans le deuxième miroir, elle avance encore de la même distance. Les deux déplacements s’additionnent pour donner deux fois l’écart entre les miroirs.

Si tu veux faire le calcul avec des nombres, une réflexion par rapport à une droite passant par l’origine et formant un angle ψ est donnée par la matrice [[cos 2ψ, sin 2ψ], [sin 2ψ, −cos 2ψ]]. En multipliant deux de ces matrices, on obtient une matrice de rotation d’angle 2(ψ₂ − ψ₁). Le Vector Lab explique comment les matrices agissent sur les formes.

L’ordre des transformations peut être important. Prenons un triangle équilatéral avec une position numérotée à chaque sommet : 1 en haut, 2 en bas à gauche et 3 en bas à droite. Soit r la rotation de 120° qui envoie la pièce en 1 vers 2, celle en 2 vers 3 et celle en 3 vers 1. Soit s la réflexion par rapport à l’axe vertical passant par la position 1 : elle échange les positions 2 et 3 et laisse 1 à sa place.

• `r` puis `s` : la pièce en position 1 va en 2, puis en 3.
• `s` puis `r` : la pièce en position 1 reste en 1, puis va en 2.

Les résultats sont différents : r puis s n’est donc pas la même transformation que s puis r. Effectuer les transformations dans un ordre différent peut changer le résultat. (Dans certains cas particuliers, cela ne change rien : deux demi-tours autour de points différents, ou deux réflexions par rapport à des droites perpendiculaires passant par le même point, donnent le même résultat dans les deux ordres. Mais en général, l’ordre est important.)

L’idée de groupe. Les symétries d’une forme forment un système bien organisé appelé un groupe : (1) effectuer une symétrie puis une autre donne encore une symétrie (l’ensemble est fermé), (2) ne rien faire est une symétrie (l’identité), et (3) chaque symétrie peut être annulée par une autre symétrie (son inverse). Un triangle équilatéral possède exactement 6 symétries : 3 rotations (0°, 120°, 240°) et 3 réflexions. Un carré en possède 8. Un polygone régulier à n côtés en possède 2n. La théorie des groupes, née de questions comme celles-ci, est la branche des mathématiques qui étudie la symétrie.