Сочетание движений

Сделайте одно преобразование симметрии, а затем ещё одно — и получите третье преобразование. Это ключевая идея, которая превращает список преобразований в изящную теорию. Самый важный пример — две последовательные осевые симметрии.

• Две пересекающиеся зеркальные линии. Отразите фигуру относительно линии m₁, а затем получившийся результат — относительно линии m₂. Если линии пересекаются в точке O, а угол между ними равен α, результатом будет поворот вокруг `O` на угол `2α`. Например, зеркала, расположенные под углом 30° друг к другу, дают поворот на 60°. Зеркала, расположенные под прямым углом (90°), дают поворот на 180° — разворот на пол-оборота.
• Две параллельные зеркальные линии. Если расстояние между линиями равно d, результатом будет параллельный перенос на `2d` перпендикулярно линиям. Зеркала, расположенные на расстоянии 3 см друг от друга, перемещают фигуру на 6 см.

Почему угол или расстояние удваиваются? После первого отражения фигура оказывается за первым зеркалом на таком же расстоянии, на каком она находилась перед ним. После отражения во втором зеркале она снова перемещается по тому же правилу. Два перемещения складываются и дают двойное расстояние между зеркалами.

Если вы хотите разобраться с помощью чисел, отражение относительно линии, проходящей через начало координат под углом ψ, задаётся матрицей [[cos 2ψ, sin 2ψ], [sin 2ψ, −cos 2ψ]]. Перемножьте две такие матрицы — и получите матрицу поворота на угол 2(ψ₂ − ψ₁). В лаборатории векторов объясняется, как матрицы действуют на фигуры.

Порядок преобразований может иметь значение. Возьмём равносторонний треугольник с пронумерованным положением в каждой вершине: 1 — вверху, 2 — внизу слева, 3 — внизу справа. Пусть r — поворот на 120°, который перемещает элемент в положении 1 в положение 2, элемент в положении 2 — в положение 3, а элемент в положении 3 — в положение 1. Пусть s — отражение относительно вертикальной оси, проходящей через положение 1: оно меняет местами положения 2 и 3, а положение 1 оставляет на месте.

• Сначала `r`, затем `s`: элемент в положении 1 перемещается в положение 2, а затем — в положение 3.
• Сначала `s`, затем `r`: элемент в положении 1 остаётся в положении 1, а затем перемещается в положение 2.

Результаты различаются, поэтому сначала r, затем s — это не то же самое преобразование, что сначала s, затем r. Изменение порядка преобразований может изменить результат. (Бывают особые случаи, когда порядок не имеет значения: два разворота на пол-оборота вокруг разных точек или два отражения относительно перпендикулярных линий, проходящих через одну точку, дают один и тот же результат в любом порядке. Но в общем случае порядок имеет значение.)

Идея группы. Симметрии фигуры образуют стройную систему, которая называется группой: (1) если выполнить одну симметрию, а затем другую, результат снова будет симметрией (множество замкнуто), (2) бездействие тоже является симметрией (это тождество), и (3) каждую симметрию можно отменить другой симметрией (это её обратная симметрия). Равносторонний треугольник имеет ровно 6 симметрий: 3 поворота (0°, 120°, 240°) и 3 отражения. У квадрата их 8. У правильного n-угольника их 2n. Теория групп, возникшая из подобных вопросов, — это раздел математики о симметрии.