動きの組み合わせ

対称移動を1回行い、続けてもう1回行うと、3つ目の移動になります。これが、移動のリストを美しい理論へと変える大切な考え方です。最も重要な例は、2回続けて反射することです。

• 交わる2本の鏡映線。 形を線 m₁ で反射し、その結果を線 m₂ で反射します。2本の線が点 O で交わり、それらの間の角度が α なら、結果は`O` を中心とする `2α` の回転になります。たとえば、鏡が互いに30°の角度にあると、60°の回転になります。鏡が直角（90°）にあると、180°の回転、つまり半回転になります。
• 平行な2本の鏡映線。 2本の線の間の距離が d なら、結果は線に垂直な方向への`2d` の平行移動になります。鏡が3 cm離れていれば、形は6 cm移動します。

なぜ角度や距離の2倍になるのでしょうか？ 1回反射すると、形は最初の鏡の前にあったのと同じ距離だけ、鏡の後ろに移ります。2つ目の鏡で反射すると、同じルールでもう一度ジャンプします。この2回のジャンプが合わさって、鏡の間のすき間の2倍になります。

数を使って考えたいなら、原点を通り、角度 ψ をなす直線に関する反射は、行列 [[cos 2ψ, sin 2ψ], [sin 2ψ, −cos 2ψ]] で表せます。この行列を2つ掛け合わせると、角度 2(ψ₂ − ψ₁) の回転行列になります。ベクトルラボでは、行列が図形にどのように作用するかを説明しています。

操作の順番が大切なことがあります。 各頂点に番号が付いた正三角形を考えます。1は上、2は左下、3は右下です。r を、1のタイルを2へ、2のタイルを3へ、3のタイルを1へ移す120°の回転とします。s を、位置1を通る鉛直軸に関する反射とします。これは位置2と3を入れ替え、1はそのままにします。

• `r` のあとに `s`: 位置1のタイルは2へ移り、そのあと3へ移ります。
• `s` のあとに `r`: 位置1のタイルは1にとどまり、そのあと2へ移ります。

結果が違うので、r のあとに s を行う操作と、s のあとに r を行う操作は同じではありません。操作の順番を変えると、結果が変わることがあります。（順番が関係しない特別な場合もあります。異なる点を中心とする2つの180°回転や、同じ点を通る垂直な2本の直線に関する2つの反射は、どちらの順番でも同じ結果になります。一般には、順番が大切です。）

群という考え方。 図形の対称性は、群と呼ばれる整ったしくみを作ります。(1) ある対称操作をしてから別の対称操作をすると、また対称操作になる（集合が閉じている）、(2) 何もしないことも対称操作である（恒等式）、(3) どの対称操作も、別の対称操作によって元に戻せる（その逆元）。正三角形には対称性がちょうど6つあります。3つの回転（0°、120°、240°）と3つの反射です。正方形には8つあります。正 n 角形には 2n 個あります。このような疑問から生まれた群論は、対称性を扱う数学です。