Menggabungkan pergerakan

Lakukan satu gerakan simetri, kemudian satu lagi, dan kamu mendapat gerakan ketiga. Inilah idea utama yang menukar senarai gerakan menjadi teori yang menarik. Contoh yang paling penting ialah dua pantulan berturut-turut.

• Dua garis cermin yang bersilang. Pantulkan satu bentuk pada garis m₁, kemudian pantulkan hasilnya pada garis m₂. Jika garis-garis itu bertemu pada satu titik O dan sudut antara kedua-duanya ialah α, hasilnya ialah putaran berpusat pada `O` sebanyak `2α`. Contohnya, cermin yang bersudut 30° antara satu sama lain menghasilkan putaran sebanyak 60°. Cermin yang bersudut tegak (90°) menghasilkan putaran sebanyak 180°, iaitu separuh pusingan.
• Dua garis cermin yang selari. Jika jarak antara garis-garis itu ialah d, hasilnya ialah translasi sebanyak `2d` secara serenjang dengan garis-garis tersebut. Cermin yang berjarak 3 cm akan menggerakkan satu bentuk sejauh 6 cm.

Mengapa sudut atau jaraknya menjadi dua kali ganda? Selepas pantulan pertama, bentuk itu berada di belakang cermin pertama pada jarak yang sama seperti jaraknya di hadapan cermin tersebut. Selepas dipantulkan pada cermin kedua, bentuk itu melompat lagi mengikut peraturan yang sama. Kedua-dua lompatan itu bergabung menjadi dua kali ganda jarak antara cermin.

Jika kamu mahu mengira perkara ini dengan nombor, pantulan pada garis yang melalui titik asal dan bersudut ψ diberikan oleh matriks [[cos 2ψ, sin 2ψ], [sin 2ψ, −cos 2ψ]]. Darabkan kedua-dua matriks itu dan kamu akan mendapat matriks putaran untuk sudut 2(ψ₂ − ψ₁). Vector Lab menerangkan cara matriks bertindak pada bentuk.

Urutan gerakan boleh menjadi penting. Ambil sebuah segi tiga sama sisi dengan satu kedudukan bernombor pada setiap bucu: 1 di atas, 2 di kiri bawah, 3 di kanan bawah. Biarkan r menjadi putaran sebanyak 120° yang menghantar jubin pada kedudukan 1 ke 2, jubin pada kedudukan 2 ke 3 dan jubin pada kedudukan 3 ke 1. Biarkan s menjadi pantulan pada paksi menegak yang melalui kedudukan 1: pantulan itu menukar kedudukan 2 dan 3 serta membiarkan 1 kekal.

• `r` kemudian `s`: jubin pada kedudukan 1 bergerak ke 2, kemudian ke 3.
• `s` kemudian `r`: jubin pada kedudukan 1 kekal di 1, kemudian bergerak ke 2.

Hasilnya berbeza, jadi r kemudian s bukanlah gerakan yang sama seperti s kemudian r. Melakukan gerakan dalam urutan yang berbeza boleh mengubah hasilnya. (Ada kes khas yang tidak terjejas oleh urutan: dua separuh pusingan yang berpusat pada titik berbeza, atau dua pantulan pada garis berserenjang yang melalui titik yang sama, memberikan hasil yang sama dalam kedua-dua urutan. Secara umum, urutan memang penting.)

Idea tentang kumpulan. Simetri bagi sesuatu bentuk membentuk satu sistem teratur yang dipanggil kumpulan: (1) melakukan satu simetri dan kemudian satu lagi sekali lagi menghasilkan simetri (set itu tertutup), (2) tidak melakukan apa-apa juga merupakan simetri (iaitu identiti), dan (3) setiap simetri boleh dibatalkan oleh simetri lain (iaitu songsangannya). Segi tiga sama sisi mempunyai tepat 6 simetri: 3 putaran (0°, 120°, 240°) dan 3 pantulan. Segi empat sama mempunyai 8. Poligon sekata dengan n sisi mempunyai 2n. Teori kumpulan, yang lahir daripada soalan seperti ini, ialah matematik tentang simetri.