دمج الحركات

أجرِ حركة تناظرية واحدة ثم أخرى، فتحصل على حركة ثالثة. هذه هي الفكرة الأساسية التي تحوّل قائمة من الحركات إلى نظرية أنيقة. وأهم مثال هو انعكاسان متتاليان.

• خطان مرآتيان متقاطعان. اعكس شكلاً في الخط m₁، ثم اعكس الناتج في الخط m₂. إذا التقى الخطان عند نقطة O وكانت الزاوية بينهما α، فالناتج هو دوران حول `O` بمقدار `2α`. على سبيل المثال، تعطي المرآتان اللتان تصنعان زاوية 30° معًا دورانًا مقداره 60°. وتعطي المرآتان المتعامدتان (90°) دورانًا مقداره 180°، أي نصف دورة.
• خطان مرآتيان متوازيان. إذا كانت المسافة بين الخطين d، فالناتج هو انتقال بمقدار `2d` عموديًا على الخطين. فالمرآتان اللتان تفصل بينهما مسافة 3 cm تحركان شكلاً مسافة 6 cm.

لماذا نضاعف الزاوية أو المسافة؟ عند إجراء الانعكاس مرة واحدة، يصبح الشكل خلف المرآة الأولى بالبعد نفسه الذي كان به أمامها. وعند إجراء الانعكاس في المرآة الثانية، يقفز الشكل مرة أخرى وفق القاعدة نفسها. وتجمع القفزتان لتساويا ضعف الفجوة بين المرآتين.

إذا أردت حل ذلك باستخدام الأعداد، فإن الانعكاس في خط يمر بنقطة الأصل ويصنع زاوية ψ يُعطى بالمصفوفة [[cos 2ψ, sin 2ψ], [sin 2ψ, −cos 2ψ]]. اضرب مصفوفتين منهما، فتحصل على مصفوفة دوران للزاوية 2(ψ₂ − ψ₁). يشرح مختبر المتجهات كيف تؤثر المصفوفات في الأشكال.

قد يكون لترتيب الحركات أهمية. خذ مثلثًا متساوي الأضلاع، وضع موضعًا مرقمًا عند كل زاوية: 1 في الأعلى، و2 في أسفل اليسار، و3 في أسفل اليمين. لتكن r هي الدوران بمقدار 120° الذي ينقل البلاطة في الموضع 1 إلى الموضع 2، والبلاطة في الموضع 2 إلى الموضع 3، والبلاطة في الموضع 3 إلى الموضع 1. ولتكن s هي الانعكاس في المحور الرأسي المار بالموضع 1: فهي تبدّل الموضعين 2 و3، وتُبقي الموضع 1 كما هو.

• `r` ثم `s`: تنتقل البلاطة في الموضع 1 إلى الموضع 2، ثم إلى الموضع 3.
• `s` ثم `r`: تبقى البلاطة في الموضع 1 في الموضع 1، ثم تنتقل إلى الموضع 2.

تختلف النتيجتان، لذا فإن r ثم s ليست الحركة نفسها التي تنتج عن s ثم r. يمكن أن يؤدي تنفيذ الحركات بترتيب مختلف إلى تغيير النتيجة. (توجد حالات خاصة لا يهم فيها الترتيب: فنصفا دورة حول نقطتين مختلفتين، أو انعكاسان في خطين متعامدين يمران بالنقطة نفسها، يعطيان النتيجة نفسها بأي من الترتيبين. لكن الترتيب مهم عمومًا.)

فكرة الزمرة. تناظر الشكل يشكّل نظامًا مرتبًا يُسمّى زمرة: (1) إجراء تناظر ثم تناظر آخر يعطي تناظرًا أيضًا (المجموعة مغلقة)، (2) عدم فعل أي شيء هو تناظر (وهو العنصر المحايد)، و(3) يمكن إلغاء كل تناظر بتناظر آخر (وهو معكوسه). للمثلث المتساوي الأضلاع 6 تناظرات بالضبط: 3 دورانات (0°، 120°، 240°) و3 انعكاسات. وللمربع 8 تناظرات. وللمضلع n المنتظم 2n. إن نظرية الزمر، التي نشأت من أسئلة كهذه، هي رياضيات التناظر.